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Das "[http://de.wikipedia.org/wiki/Kleine_Welt Kleine Welt Phänomen]" beschreibt die Erfahrung, dass man in sozialen (und anderen) Netzwerken häufig über wenige Kontakte zu jedem Mitglied des Netzwerks gelangen kann. In Untersuchungen ließ sich häufig eine Zahl zwischen 5-8 Schritten ermitteln. (Angeblich kommt jeder über etwa 6 Schritte mit jedem anderen Menschen in Kontakt)

Hier eine kleine Erörterung zur mathematischen Betrachtung des Phänomens:

Ein Netzwerk besteht aus vielen Individuen. Die Anzahl nennen wir Zi. Jedes der Individuen hat zu anderen Individuen Kontakte, wobei nur die wirklich relevanten Kontakte betrachtet werden. Der Einfachheit halber nehmen wir an, diese Zahl sei bei allen gleich (statistischer Durchschnitt): Zahl der Kontakte je Individuum = zki.

Die Zahl der möglichen Kontakte (=Zkmax) im Netzwerk kann man errechnen. Sie beträgt:

 Zkmax=(Zi*Zi-Zi)/2 

(Jeder könnte jeden kennen, die Kontakte zu sich selbst werden abgezogen und alles wird halbiert, da 2 Individuen immer einen Kontakt bilden)

Tatsächlich hat aber jedes Individuum nur wenige Kontakte (=zki). Deshalb gibt es insgesamt Zk=Zi*zki direkte Kontakte.

Um mit den möglichen direkten Kontakten alle denkbaren Kontakte abzudecken, muss man mehrere Kontakte nutzen. Wieviele das sind, kann durch folgende Überlegung bestimmt werden:

Im ersten Schritt gibt es Zk Kontakte. Jeder dieser Kontakte erlaubt wieder zki-1 weitere Kontakte (1 Kontakt zzur ursprünglichen Person wird nicht berücksichtigt) , d.h. im 2. Schritt sind Zk*(zki-1) Kontakte möglich. Im nächsten Schritt Zk*zki*zki usw.

Nach n Schritten hat man Zk*(zki-1)<sup>n</sup> mögliche Kontakte. Wenn diese alle denkbaren Kontakte abdecken, kann man im Prinzip mit n Schritten jeden Kontakt herstellen, d.h. es muss gelten:

 Zkmax = Zk*(zki-1)<sup>n</sup>

oder 

 n = Log<sub>(zki-1)</sub>(Zkmax/Zk)

Beispiel:

:Zi = 400.000.000 (Es gibt 400 Mio. Individuen - z.B. die Einwohner Europas)
:zki= 15 (jeder hat zu durchschnittlich 15 andere Individuen engeren Kontakt)
:n = Anzahl der Schritte zwischen 2 beliebigen Einwohnern (hier ca. 6)

Wenn man die Einwohnerzahl auf 6 Mrd. erhöht, ändert sich die Zahl der Schritte nicht sehr (ca. 7). Allerdings setzt dies voraus, dass sich die Kontakte gleichmäßig verteilen. Wenn es extreme Gruppenbildung gibt und zwischen den Gruppen nur wenige Vernetzungen bestehen, muss man jede Gruppe für sich betrachten und die Zahlen der notwendigen Schritte für die Einzelgruppen addieren. Wenn zwei Regionen mit je 400 Mio. Einwohnern miteinander schwach vernetzt sind, benötigt man mindestens 6+6 Schritte, um jeden der insgesamt 800 Mio. Einwohner mit jedem anderen zu verknüpfen.

Mit Hilfe dieser Betrachtung können Netzwerke analysiert werden. Kennt man die Zahl der Individuen und kann (z.B. aus statistischen Daten) die Zahl der Schritte für beliebige Kontakte zwischen den Individuen ermitteln, so lässt sich die durchschnittliche Zahl der Kontakte je Individuum bestimmen (wer kennt wieviele Menschen). Kennt man die durchschnittliche Zahl der Kontakte je Individuum, so lässt sich die theoretische Zahl der Schritte ermitteln, um einen Kontakt zu einem anderen Individuum herzustellen. Ist die tatsächliche Zahl der Schritte deutlich größer, so muss die Vernetzung gestört sein - ist sie niedriger, so ist die Zahl der individuellen Kontakte größer als angenommen.

{|
||<CalcII>Zi=400000000;zki=15;Zkmax=(Zi*Zi-Zi)/2;Zk=Zi*(zki-1);n=LN(Zkmax/Zk)/LN(zki-1)</CalcII>
|}
[[Kategorie:Gesellschaft]]